Искам да споделя едно невероятно преживяване, но не към кигурен, в кой мой блог (дневник) му е мястото: в личния (Буден дневник), или в математическия (Примакс). Накрая реших да го публикувам и в двата.
В последните дни се занимавах с представянето на числата с квадрати. Например обичаното от мнозина 13 може да се представи като сбор на 4 и 9, които са квадратите на 2 и 3. Представянето не е нищо мистично, а основната релация: „равно“. Изписано в обичайна форма: 13 = 4 + 9
Сега да не се занимаваме с въпроса, това „представяне“ важно ли е, полезно ли е. В математиката такива въпроси са неуместни. Там всичко трябва да се знае, което може да се знае. Както казва старата мъдрост: „Довери (на логиката), но провери!“
По тази тема някога се е родила хипотезата, по-късно доказана от Лагранж (1736-1813), че всяко естествено число може да бъде представено като сбор от най-много четири квадрата.
Според мен, това е зашеметяващо твърдение и е много лесно да се види, че още в началото на числата сме на ръба. Например : 7 = 4 + 1 + 1 + 1
А какво може да е положението при много големите числа, лощо му става на човек, ако си помисли за това, имайки предвид какви огромни стават квадратите.
Тук обаче добре трябва да се разбере смисъла на твърдението. Теоремата не твърди, че една число не може да бъде представено с повече от четири квадрата. Наистина 100 може да бъде представено и със сто квадрата (да не забравяме, че 1 е също квадрат и то особено важен, без него няма оправия). Теоремата не твърди, че няма решение с повече или по-малко квадрата, а че винаги съществува решение с не повече от четири квадрата.
Да се върнем на респектиращото 100. Споменатото по-горе решение подсказва, че играейки си с квадратите, равни (какъвто е самото 100) или по-малки от 100, получаваме невероятен брой решения с най-различен брой квадрати, от сто до… един (100 = 100). Но щом е така, поставя се въпроса: може ли да се категоризират числата според това, колко е минималният брой квадрати, с които те могат да бъдат представени. Едно е сигурно, тук можем да говорим за четири категории, като в първата (числата, които могат да бъдат представени с един квадрат) е точно подмножеството на квадратите. Във втората категориа попадат числата, които са квадрат + 1 (5, 10, 17 и т. н.). За всички числа от вида квадрат + 2 не можем да твърдим, че попадат в третата категория.
Положението ставаше по оплетено и все повече въпроса възникваха, докато изведнъж един конкретен пример (11^2 = 9^2 + 6^2 + 2^2) тласна интереса ми в съвсем друга посока. Когато представим един квадрат като сбор на два квадрата, пред очите ни се явява правоъгълния триъгълник. Но какво можем да знаем за един четириъгълник със страни 11, 9, 6 и 2?
Напрягах си мозъка, но беше вече много късно, всички бяхме уморени и аз се предадох. Почетох малко и си легнах. Както обикновено, започнаха сънища-филми, кулминациите на които често ме събуждат и карат да се обърна на другата си страна и да започна нов филм. Но този път се случи нещо, което досега не ви се бе случвало. Ясно, отчетливо и разбираемо почнах да си обяснявам на себе си, как да се построи четириъгълник със страни, отговарящи на горното условие (квадратът на най-голямата да е равен на сбора от квадратите на другите три).
Лекцията, изнесена в полусън, но изслушана с голям буден интерес и внимание, наставляваше: вземи двете най-малки страни (2 и 6) под прав ъгъл. Получаваш правоъгълен триъгълник с хипотенуза корен квадратен от 40 (2^2+6^2). В края на тади хипотенуза вдигни под прав ъгъл третата страна (9), свържи върха ѝ с други край на хипотенузата, което дава нов правоъгълен триъгълник, на който хипотенузата ще бъде корен квадратен от квадрата на 9 (81) и квадрата на първата хипотенуза (корен к квадратен от 40, т. е. 40. 81+40=121, което е 11^2! Ето, така изглежда търсеният четириъгълник. И което е особено важно и интересно: този метод позволява построяването на произволен многоъгълник, за който е валидно горното правилно.
Успокоен и възхитен от резултата се обърнах и след минути се вглъбих в следващия сън-филм. Невероятен беше. Някаква много съвременна и лична адаптация на последните глави от Давид Коперфилд.
Нещо като послепис: на другия ден се замислих по въпроса и установих, че въпросният четириъгълник (и неговите подобни) имат безкрайно много решения, далеч не само сънуваната конструкция. Във всеки случай въпросът ми изглежда толкова уплетен и разнопосочен, че бях принуден да отложа изучаването за по-спокойни времена.
* * *
