За числата

(Глава от Вълните на времето, с малко съкращение)

Ето един кратък разказ – за екскурзията, която направих последните седмици в балкана на числата. Предполагам, това ще е интересно и поучително, може би дори заразителен самия пример. Случаят ми напомня на това как Алеко Константинов насади у софиянци навика, дори страстта да ходят по Витоша. Сега аз ви каня, млади и стари, на подобни екскурзии. Великолепно развлечение.

Да предупредя: впечатленията ми от тази импровизирана екскурзия са прекалено пресни. Не е изключено, да съм пропуснал грешки, и почти нищо сигурно не мога да кажа: това, което сега споделям, новост ли е или вече е известно за специалистите. Не бих се учудил, ако всичко, до последната буква (без евентуалните грешки) е известно. Но и на това не бих се удивил, ако една част от „репортажа“ се публикува за първи път, и така уважаемият читател става свидетел на велики открития в математиката. Те това е една от чара – и евентуалната полза – на подобни екскурзии по балканите на науката въобще.

Всички сме склонни да мистифицираме своето майсторство (професия) и нейния трудно достъпен за непосветени терен. А истината е, че всичко е някаква подобна на другите част на голямата гора, наречена свят. И да тръгнеш на една екскурзия в една непозната гора съвсем не е нечувано геройство или невъзможно постижение. Необходими са само няколко прости правила, почти точно такива, като при екскурзия в една истинска гора. И задачата ни не е много по-сложна от това да наблюдаваме добре всяко дърво, всеки храст. Бъдете сигурни, че ако няколко дни обикаляте внимателно и в захлас гората на числата, ще се приберете ободрени, весели, с пълна кошница с вкусни малини.

Смело, приятели! Гората на числата, както и гората на истината е на всички. А входът за тях е в твоята глава.

Сега да видим, къде скитах тези дни!

* * *

От дълги хилядолетия е известен правоъгълният триъгълник със страни 3, 4 и 5. За да забележим свойството на тези три числа, а именно това, че сбора на квадрата на първите две дава квадрата на третото, съвсем не е необходимо да познаваме известната теорема на Питагор (която със сигурност е била позната много преди него от старите египтяни, месопотамци, индийци и китайци, т. е. на „четирите края“ на света на древната математика). Твърде е вероятно да се е случило обратното, това наблюдение за тези квадрати да е подсказала теоремата за правоъгълните триъгълници. Така работи мисълта: забележи нещо интересно и веднага се опитва да открие правилото, което се крие там.

Тук трябва да отбележим, че ролята на тези три числа е била твърде важна и то от практична, а не толкова от теоретична гледна точка. Причината за това е твърде проста, но ако искаме, може да кажем и гениална. Това свойство на трите числа да дават правоъгълен триъгълник предоставя удобно – и евтино – средство за измерване на особено точни прави ъгли при все по-грандиозните строежи на палати, храмове и пирамиди.

Но ние сега да оставим на страна практическата употреба на тази великолепна тройка и да се позамислим по-дълбоко в темата. Тук веднага трябва да си призная, че мен винаги ме е учудвало следното: 3 и 4 са съвсем близки, „почти“ равни числа, т. е. сбора на техните квадрати е „приблизително“ удвояване на квадрата на 4. Как тогава резултатът може да бъде „само“ пет? „Поетичен“ въпрос, както казват унгарците. Нито има много смисъл самият въпрос, нито има смислен отговор. Но в същото време може да възникне един по-общ, но съвсем конкретен въпрос: има ли друг подобен случай, т. е. n и n+1 да дават правоъгълен триъгълник? Какво мислите? Има. Не много, но има. Например 20, 21 и 29. Следващият пример е вече доста далеч: 119, 120 и 169. И още: 696, 697 и 985. И последният пример: 4059, 4060 и 5741.

Време е обаче да уточним изразите и наименованията. Интересуват ни правоъгълните триъгълници със страни, които са естествени числа. Да напомним, че на български се употребяват – за голямо съжаление, прекалено често – чуждиците хипотенуза (за страната срещу правия ъгъл) и катети (за двете страни, които са и раменете на правия ъгъл). Колко по-приятно би било да ги наричаме съответно пояс (или нещо подобно) и рамене (а може би „бедро“ ще е по-секси?). Ние тук ще си позволим да ползваме смесено и обичайните, и новопредложените изрази.

А самият предмет на изложението ми са тройките естествени числа, които дават страните на един правоъгълен триъгълник. Тези тройки обикновено ги наричат питагорови, което според мен е прекалено отегчаващо, израз на бедна фантазия и бедна култура. Колкото е по-бедна или по друг начин куца една култура, толкова по е склонна да се лепва на няколко всеизвестни имена. Питагор е интересна и колоритна личност, с голяма дейност и влияние, но той си е свръх „изплатен“ с носещата неговото име теореми. Напълно неоснователно е пак неговото име да ползваме за споменатите тройки. Бихме могли да ги наричаме по-скоро диофантови или тройки на Ферма, но според мен най-разумно е да ползваме едно „неутрално“ название като например правоъгълни тройки, или още по-просто: прави тройки.

Една важна договорка: под права тройка ще разбираме три естествени числа, които дават страните на правоъгълен триъгълник, но строго подредени по големина: на първо място най-малкото, на последно място най-голямото число. Ако някой има хубаво чувство за хумор, може да попита: „Ами ако двете рамена са равни, кое да бъде на първо място?“ Поощрявам хумора, но две равни рамена в правоъгълен триъгълник със страни цели числа няма.

 И това вече навлизаме в гъстата гора на по-сериозните въпроси. Пак на нашия любим Питагор приписват (пак неоснователно), че той открил (и бил жестоко поразен от откритието), че ако раменете на един правоъгълен триъгълник са равни, „няма такова число“, което да дава дължината на хипотенузата. На сцената се появява „корен от две“. Но това е друга тема, да останем на нашите прави тройки. Важното е, че по съвсем очевиден начин това са три, строго различни числа (което ще рече, че второто е поне с 1 по-голямо от първото, третото пък поне с 1 по-голямо от второто).

Вече видяхме, че макар и рядко, но се намират тройки, при които разликата между двете рамена (първото и второто число на тройката) е 1. Да, „малко“ са, но все пак безбройно много. (Трябва да подчертая, че твърдението изглежда „безспорно“, но не познавам доказателство, тъй че то трябва да се счита за хипотеза). Този вид прави тройки заслужават названието квази- или полу-равнобедрени.

Логично е въпроса да се обърне: много ли са правите тройки, при които разликата между второто и третото число е 1, т. е. са „почти“ равни (и затова тези тройки биха заслужавали името тройка-дилаф). Трябва да кажа, че напразно това е строга математика, намирам го за удивително, че „болшинството“ на правите тройки са точно такива тройки-дилафи и то с едно много интересно, почти също толкова удивително свойство.

Преди обаче да го назовем това качество, да спомена една съществена закономерност. Ако е дадено едно естествено число n, което ще бъде първото на права тройка, то второто число, m може да бъде единствено в интервала (n+1) – int((n²-1)/2). Така например за 13 този интервал е 14-84. Не е чак толкова къс, но не е и прекалено дълъг, важното е, че можем да сме спокойни: ако до там не сме намерили подходящо число за второ в една права тройка, няма смисъл да продължаваме търсенето. Забележете, че тази формула за 3 определя интервал от едно единствено число: 4, което пък дава именно класическата тройка 3,4,5!

А сега за загатнатото свойство: всички нечетни числа дават права тройка с последното число от правия си интервал, но нито едно четно число! Защо във първия случай „последният шанс“ винаги гарантира успех, а във втория обратно, не е лесно да се разгадае. Но надали е толкова важно някакво философско разгадаване. Напълно достатъчно е да го знаем. Никак не е излишно даже да го формулираме в надлежната форма на теорема: за всяко естествено нечетно число, записано 2n+1, тройката 2n+1, (2n+1)²-1)/2, (2n+1)²+1)/2 е не тривиална права тройка.

Интересно е положението при четните („женските“) числа. Както споменахме, при тях края на правия интервал, „последният шанс“ никога не дава права тройка, но ето, виж, по средата на интервала със сигурност намираме решение. По-точно: за всяко естествено четно число, по-голямо от 4 и записано като 2n, тройката 2n, n²-1, n²+1 е права тройка. Тази права тройка обаче не винаги е не тривиална (което може да се каже и обратно: не винаги е тривиална). Може ли да знаем, кога ще е тя тривиална, кога не? Можем: ако n е нечетно, тогава това е тривиална тройка (защото тогава и трите числа са четни).

Последните два резултата (теореми) вече дават отговор на вероятно най-важния въпрос в тази тема, а именно: има ли всяко число принадлежаща му права тройка? Ясен и прост въпрос (поне на пръв поглед), на който очакваме ясен и прост отговор. Така сме ние, хората, обичаме ясните и прости неща. Но нещата рядко са задоволително ясни и прости. Ето веднага една уговорка: явно никакъв интерес не представляват тези тройки, които са тривиално повторение на други, получени с умножение. Например тройната 6, 8, 10 е тривиално увеличение на класическата 3, 4, 5. Това обаче не означава, че шестицата трябва да отпадне от поредицата на числата, за които търсим прави тройки. Което е необходимо: да различаваме „истинските“ и „тривиалните“ тройки.

Ето, за шестицата е вярно, че има една единствена права тройка, която за съжаление е тривиална. Но 9 има две тройки: една тривиална 9, 12, 15, което е пак позната класическа тройка, умножена на 3, но има и втора – 9, 40, 41. Да отбележим, че тази втората нетривиална тройка е именно тройката „последен шанс“ (която, както споменахме, е всъщност „задължителна“ за нечетните числа, каквото е и 9, тъй че място за учудване няма).

Да обобщим наученото до сега: всяко естествено число (т. е. цяло положителна число) с изключение на 1, 2 и 4 има поне една принадлежаща му права тройка.

Защо ги има тези изключения? – може с право да попита всеки. Ами защо диагонала на квадрата със страна 1 е ирационално число?

А колко тройки може да има едно число и какво е съотношението на тривиалните и не тривиалните му тройки? От споменатите до сега и от други примери е ясно, че „много“ числа имат повече от една права тройка. Осезателно е, че броят на правите тройки на едно число приема пропорционално все по-големи стойности, но нарастването не е нито монотонно, нито равномерно. Например простите числа имат една единствена тройка. Друго характерно е, че броят на тривиалните тройки е обикновено много по-голям от броя на нетривиалните. Изглежда ясно, че броя на тройките е пряко свързан с броя на реалните делители на числото, но за сега не успях да намеря формула на тази връзка.

В темата за правите тройки има една теорема, която често наричат основна. Тя наистина е важна, интересна и полезна (за лесното и бързо съставяне на множество прави тройки), но имаме основание за известни резерви. Теоремата гласи: нека p и q да са две различни, взаимно прости естествени числа (p<q), тогава q²-p², 2pq, p²+q² e права тройка. Тук веднага трябва да направим едно важно уточнение. В резултата на тази формула не винаги първото число е най-малкото. Това не е фатално, ако променим реда на първите две получаваме изрядна права тройка, но за тази малка подробност трябва да се внимава, например ако търсим някаква зависимост и подбираме по първия член на резултата, лесно можем да сгрешим както и в подбора, така и в евентуалните заключения. Освен това да не забравяме, че тази формула дава само нетривиалните прави тройки, а колкото и обидно да звучи в обществения живот епитетът тривиален, за много задачи и тривиалните тройки могат да имат неоценима важност и стойност.

Като завършен на разказа, трябва да спомена наблюдението си, че поредицата числата, които имат полу-равнобедрена тройка проявяват интересно качество: всяко следващо число е произведение на предното число и коефициент, който клони към стойност приблизително 5,6. Хипотеза…

С това за сега аз приключвам, но този кът на математическия балкан ми даде много преживявания и знам, че ще ме зове отново. Обаче това не е място запазено за този или онзи. Открит е за всички и никой да не се чувства закъснял. Неоткрити-непроучени дървета, храсти, цветя има безброй.

* * *