Отново изпитах вълнението да откриеш нещо интересно. Какво
значение има, дали съм първият или (за днес) последният, който открива, дали
откритието е важно или без практическа полза?
Историята започна с това да търся
нова поредица естествени числа, която се държи скромно, не се изстрелва в
космически размери. Особено предпочитание имам съм поредици, които да ограничени
от поредицата на естествените числа (т. е. n–ият член на поредицата да не е
по-голям от n).
Едно подходящо решение на задачата
беше поредицата от най-големия нетривиален делител на n. (6 има два нетривиални делителя: 2
и 3.) Но какво да бъде, ако едно чусло няма нетривиални делителя (с други думи
е просто)? Щом „няма“, обичайната реакция е да пишем 0. Да отбележим тази
поредица с GND(n)
Скоро обаче си помислих, че това така
е половин работа. Защо да потърсим веднага и вай-малкия нетривиален делител: SND(n)?
И тук е резонно да спазим същото „нулево правило“. И още едно уточнение: ако
едно число има един единствен нетривиален делител (което се случва винаги и
само при квадрат на просто число, например при 9, чийто единствен нетривиален
делител е 3), тогава този единствен делител се взема и за най-голям и за
най-малък.
Така в крайна сметка се получиха две
скромни (ограничени от естествените числа) и интересни поредици. Интересното в
тях може би не се набива веднага в очи, но си заслужава да се разгледат
по-обстойно.
|
n |
SND(n) |
GND(n) |
|
1 |
0 |
0 |
|
2 |
0 |
0 |
|
3 |
0 |
0 |
|
4 |
2 |
2 |
|
5 |
0 |
0 |
|
6 |
2 |
3 |
|
7 |
0 |
0 |
|
8 |
2 |
4 |
|
9 |
3 |
3 |
|
10 |
2 |
5 |
|
11 |
0 |
0 |
|
12 |
2 |
6 |
|
13 |
0 |
0 |
|
14 |
2 |
|
|
15 |
3 |
5 |
|
16 |
2 |
8 |
|
17 |
0 |
0 |
|
18 |
2 |
9 |
|
19 |
0 |
0 |
|
20 |
2 |
10 |
|
21 |
3 |
7 |
|
22 |
2 |
11 |
|
23 |
0 |
0 |
|
24 |
2 |
12 |
|
25 |
5 |
5 |
|
26 |
2 |
13 |
|
27 |
3 |
9 |
|
28 |
2 |
14 |
|
29 |
0 |
0 |
|
30 |
2 |
15 |
|
31 |
0 |
0 |
|
32 |
2 |
16 |
|
33 |
3 |
11 |
|
34 |
2 |
17 |
|
35 |
5 |
7 |
|
36 |
2 |
18 |
|
37 |
0 |
0 |
|
38 |
2 |
19 |
|
39 |
3 |
13 |
|
40 |
2 |
20 |
|
41 |
0 |
0 |
|
42 |
2 |
21 |
|
43 |
0 |
0 |
|
44 |
2 |
22 |
|
45 |
3 |
15 |
|
46 |
2 |
23 |
|
47 |
0 |
0 |
|
48 |
2 |
24 |
|
49 |
7 |
7 |
|
50 |
2 |
25 |
|
51 |
3 |
17 |
|
52 |
2 |
26 |
|
53 |
0 |
0 |
|
54 |
2 |
27 |
|
55 |
5 |
11 |
|
56 |
2 |
28 |
|
57 |
3 |
19 |
|
58 |
2 |
29 |
|
59 |
0 |
0 |
|
60 |
2 |
30 |
|
61 |
0 |
0 |
|
62 |
2 |
31 |
|
63 |
3 |
21 |
|
64 |
2 |
32 |
|
65 |
5 |
13 |
|
66 |
2 |
33 |
|
67 |
0 |
0 |
|
68 |
2 |
34 |
|
69 |
3 |
23 |
|
70 |
2 |
35 |
|
71 |
0 |
0 |
|
72 |
2 |
36 |
|
73 |
0 |
0 |
|
74 |
2 |
37 |
|
75 |
3 |
25 |
|
76 |
2 |
38 |
|
77 |
7 |
11 |
|
78 |
2 |
39 |
|
79 |
0 |
0 |
|
80 |
2 |
40 |
|
81 |
3 |
27 |
|
82 |
2 |
41 |
|
83 |
0 |
0 |
|
84 |
2 |
42 |
|
85 |
5 |
17 |
|
86 |
2 |
43 |
|
87 |
3 |
29 |
|
88 |
2 |
44 |
|
89 |
0 |
0 |
|
90 |
2 |
45 |
|
91 |
7 |
13 |
|
92 |
2 |
46 |
|
93 |
3 |
31 |
Първото, което може да се забележи е
всъщност пряко последствие от определението на двете поредици: произведението
на две съответни числа дава техния „номер“. Казано в математическа форма:
SND(n)хGND(n) = n
Трябва да отбележим, че това е вярно,
ако „съответните“ числа не са нула. Малка подробност, че двете числа във всеки
случай са или и двете нули или и двете различни от нула. Също така е за отбелязване
е, че горното правило е вярно и тогава, когат имам един единствен нетривиален
делител.
Другата особеност на двете поредици е
това, че в тази на най-големите делители се намират всички естествени числа по-големи
от 1, докато в другата се намират единствено прости числа (всички те).
Трета и най-важна особеност е видна –
макар и още не така ясно – в поредицата на най-малките делители. Преди да я
посочим, ще направя една малка корекция в определенията на двете поредици (с
което ще получим две нови поредици, които имат също толкова право на
съществуване, като първите, нито повече, нито по-малко).„
Уточнението се отнася единствено за
случаите, когато n няма нетривиален делител. Тогава за най-малък делител приемаме 1, а за
най-голям n, иначе казано, отстъпваме от изискването за нетривиалност („като няма
кон, и магарето е кон“). При това положени горната формула става валидна за
всички n.
За да улесним напълно откриването на
третата особеност ще дефинираме още една поредица така: ако х се дели на 2, а(n)=2, ако х хе ъе дели на 2, но се
дели на ,, а(n)=3, ако n не се дели нито на 2, нито на 3, а(n)=0
Така получаваме следната поредица:
Така става вероятно напълно ясна
цикълът, който дава „канавата“ или „прешлените“ на естествените числа:
2-0-2-0-2-3. Това е цикъл, който започва „в четвърта позиция“, т. е. с 4 и
продължава с пълна регулярност до безкрай.
Какво важно и интересно ни казва този
цикъл? Преди всичко, че простите числа имат „шанс“ да се появят единствено във
втората и третата позиция на този цикъл. Няма своеволие, няма анархия, няма
непредвидимост. Тези „критични“ позиции можем да ги наречем първа и втора
дупка.
Веднага се вижда, че имаме четири
вида цикли:
- първи тип – ако и в двете дупки
имаме прости числа (това са именно и само простите числа-близнаци),
- втори тип – ако в първата дупка има
просто число (което можем да наричаме просто от първи тип или просто от тип 5), а във втората дупка има композирано
число (произведение),
- трети тип – ако в първата дупка има
композирано, а във втората просто число (което може да се нарича просто от
втори тип или просто от тип 7),
- четвърти тип – ако и в двете дупки
имаме композирани числа.
Ясно е, че в дупките на циклите могат
да попаднат само такива композирани числа, които не се делят нито на 2, нито на
3. Тях можем да ги наречем, по аналогия на химическите елементи, тежки числа.
Ето и поредицата на тежките числа: 25, 35, 49, 55…
